Градиент концентрации формула

Градиентный спуск: всё, что нужно знать

Градиент концентрации формула

Градиентный спуск — самый используемый алгоритм обучения, он применяется почти в каждой модели машинного обучения. Градиентный спуск — это, по сути, и есть то, как обучаются модели.

Без ГС машинное обучение не было бы там, где сейчас.

 Метод градиентного спуска с некоторой модификацией широко используется для обучения персептрона и глубоких нейронных сетей, и известен как метод обратного распространения ошибки.

В этом посте вы найдете объяснение градиентного спуска с небольшим количеством математики. Краткое содержание:

  • Смысл ГС — объяснение всего алгоритма;
  • Различные вариации алгоритма;
  • Реализация кода: написание кода на языке Phyton.

Что такое градиентный спуск

Градиентный спуск — метод нахождения минимального значения функции потерь (существует множество видов этой функции). Минимизация любой функции означает поиск самой глубокой впадины в этой функции.

Имейте в виду, что функция используется, чтобы контролировать ошибку в прогнозах модели машинного обучения. Поиск минимума означает получение наименьшей возможной ошибки или повышение точности модели.

Мы увеличиваем точность, перебирая набор учебных данных при настройке параметров нашей модели (весов и смещений).

Итак, градиентный спуск нужен для минимизации функции потерь.

[attention type=yellow]

Суть алгоритма – процесс получения наименьшего значения ошибки. Аналогично это можно рассматривать как спуск во впадину в попытке найти золото на дне ущелья (самое низкое значение ошибки).

[/attention]

Поиск минимума функции

В дальнейшем, чтобы найти самую низкую ошибку (глубочайшую впадину) в функции потерь (по отношению к одному весу), нужно настроить параметры модели. Как мы их настраиваем? В этом поможет математический анализ. Благодаря анализу мы знаем, что наклон графика функции – производная от функции по переменной. Это наклон всегда указывает на ближайшую впадину!

На рисунке мы видим график функции потерь (названный «Ошибка» с символом «J») с одним весом. Теперь, если мы вычислим наклон (обозначим это dJ/dw) функции потерь относительно одного веса, то получим направление, в котором нужно двигаться, чтобы достичь локальных минимумов. Давайте пока представим, что наша модель имеет только один вес.

Функция потерь

Важно: когда мы перебираем все учебные данные, мы продолжаем добавлять значения  dJ/dw для каждого веса. Так как потери зависят от примера обучения, dJ/dw также продолжает меняться. Затем делим собранные значения на количество примеров обучения для получения среднего. Потом мы используем это среднее значение (каждого веса) для настройки каждого веса.

Также обратите внимание: Функция потерь предназначена для отслеживания ошибки с каждым примером обучениям, в то время как производная функции относительного одного веса – это то, куда нужно сместить вес, чтобы минимизировать ее для этого примера обучения. Вы можете создавать модели даже без применения функции потерь. Но вам придется использовать производную относительно каждого веса (dJ/dw).

Теперь, когда мы определили направление, в котором нужно подтолкнуть вес, нам нужно понять, как это сделать. Тут мы используем коэффициент скорости обучения, его называют гипер-параметром.

Гипер-параметр – значение, требуемое вашей моделью, о котором мы действительно имеем очень смутное представление. Обычно эти значения могут быть изучены методом проб и ошибок. Здесь не так: одно подходит для всех гипер-параметров.

 Коэффициент скорости обучения можно рассматривать как «шаг в правильном направлении», где направление происходит от dJ/dw.

Это была функция потерь построенная на один вес. В реальной модели мы делаем всё перечисленное выше для всех весов, перебирая все примеры обучения. Даже в относительно небольшой модели машинного обучения у вас будет более чем 1 или 2 веса. Это затрудняет визуализацию, поскольку график будет обладать размерами, которые разум не может себе представить.

Подробнее о градиентах

Кроме функции потерь градиентный спуск также требует градиент, который является dJ/dw (производная функции потерь относительно одного веса, выполненная для всех весов). dJ/dw зависит от вашего выбора функции потерь. Наиболее распространена функция потерь среднеквадратичной ошибки.

Производная этой функции относительно любого веса (эта формула показывает вычисление градиента для линейной регрессии):

Это – вся математика в ГС. Глядя на это можно сказать, что по сути, ГС не содержит много математики. Единственная математика, которую он содержит  в себе – умножение и деление, до которых мы доберемся. Это означает, что ваш выбор функции повлияет на вычисление градиента каждого веса.

Коэффициент скорости обучения

Всё, о чём написано выше, есть в учебнике. Вы можете открыть любую книгу о градиентном спуске, там будет написано то же самое. Формулы градиентов для каждой функции потерь можно найти в интернете, не зная как вывести их самостоятельно.

Однако проблема у большинства моделей возникает с коэффициентом скорости обучения.

Давайте взглянем на обновленное выражение для каждого веса (j лежит в диапазоне от 0 до количества весов, а Theta-j это j-й вес в векторе весов, k лежит в диапазоне от 0 до количества смещений, где B-k — это k-е смещение в векторе смещений). Здесь alpha – коэффициент скорости обучения.

[attention type=red]

Из этого можно сказать, что мы вычисляем dJ/dTheta-j ( градиент веса Theta-j), и затем шаг размера alpha в этом направлении. Следовательно, мы спускаемся по градиенту. Чтобы обновить смещение, замените Theta-j на B-k.

[/attention]

Если этот размера шага alpha слишком велик, мы преодолеем минимум: то есть промахнемся мимо минимума. Если alpha слишком мала, мы используем слишком много итераций, чтобы добраться до минимума. Итак, alpha должна быть подходящей.

Использование градиентного спуска

Что ж, вот и всё. Это всё, что нужно знать про градиентный спуск. Давайте подытожим всё в псевдокоде.

Примечание: Весы здесь представлены в векторах. В более крупных моделях они, наверное, будут матрицами.

От i = 0 до «количество примеров обучения»

1. Вычислите градиент функции потерь для i-го примера обучения по каждому весу и смещению. Теперь у вас есть вектор, который полон градиентами для каждого веса и переменной, содержащей градиент смещения.

2. Добавьте градиенты весов, вычисленные для отдельного аккумулятивного вектора, который после того, как вы выполнили итерацию по каждому учебному примеру, должен содержать сумму градиентов каждого веса за несколько итераций.

3. Подобно ситуации с весами, добавьте градиент смещения к аккумулятивной переменной.

Теперь, ПОСЛЕ перебирания всех примеров обучения, выполните следующие действия:

1. Поделите аккумулятивные переменные весов и смещения на количество примеров обучения. Это даст нам средние градиенты для всех весов и средний градиент для смещения. Будем называть их обновленными аккумуляторами (ОА).

2. Затем, используя приведенную ниже формулу, обновите все веса и смещение. Вместо dJ / dTheta-j вы будете подставлять ОА (обновленный аккумулятор) для весов и ОА для смещения. Проделайте то же самое для смещения.

[attention type=green]

Это была только одна итерация градиентного спуска.

[/attention]

Повторите этот процесс от начала до конца для некоторого количества итераций. Это означает, что для 1-й итерации ГС вы перебираете все примеры обучения, вычисляете градиенты, потом обновляете веса и смещения.  Затем вы проделываете это для некоторого количества итераций ГС.

Различные типы градиентного спуска

Существует 3 варианта градиентного спуска:

1. Мini-batch: тут вместо перебирания всех примеров обучения и с каждой итерацией, выполняющей вычисления только на одном примере обучения, мы обрабатываем n учебных примеров сразу. Этот выбор хорош для очень больших наборов данных.

2. Стохастический градиентный спуск: в этом случае вместо использования и зацикливания на каждом примере обучения, мы ПРОСТО ИСПОЛЬЗУЕМ ОДИН РАЗ. Есть несколько вещей замечаний:

  • С каждой итерацией ГС вам нужно перемешать набор обучения и выбрать случайный пример обучения.
  • Поскольку вы используете только один пример обучения, ваш путь к локальным минимумам будет очень шумным, как у пьяного человека, который много выпил.

3. Серия ГС: это то, о чем написано в предыдущих разделах. Цикл на каждом примере обучения.

Картинка, сравнивающая 3 попадания в локальные минимумы

Пример кода на python

Применимо к cерии ГС, так будет выглядеть блок учебного кода на Python.

def train(X, y, W, B, alpha, max_iters): ''' Performs GD on all training examples, X: Training data set, y: Labels for training data, W: Weights vector, B: Bias variable, alpha: The learning rate, max_iters: Maximum GD iterations. ''' dW = 0 # Weights gradient accumulator dB = 0 # Bias gradient accumulator m = X.shape[0] # No. of training examples for i in range(max_iters): dW = 0 # Reseting the accumulators dB = 0 for j in range(m): # 1. Iterate over all examples, # 2. Compute gradients of the weights and biases in w_grad and b_grad, # 3. Update dW by adding w_grad and dB by adding b_grad, W = W – alpha * (dW / m) # Update the weights B = B – alpha * (dB / m) # Update the bias return W, B # Return the updated weights and bias.

Вот и всё. Теперь вы должны хорошо понимать, что такое метод градиентного спуска.

Источник: https://neurohive.io/ru/osnovy-data-science/gradient-descent/

Градиент концентрации: понятие, формула. Транспорт веществ в биологических мембранах

Градиент концентрации формула
Образование 17 марта 2017

Что такое концентрация? Если говорить в широком смысле, то это соотношение объема вещества и количества растворенных в нем частиц. Данное определение встречается в самых разнообразных отраслях науки, начиная от физики и математики, заканчивая философией. В данном случае, идет речь об употреблении понятия «концентрация» в биологии и химии.

Градиент

В переводе с латыни, это слово означает «растущий» или «шагающий», то есть это некий «указующий перст», который показывает направление, в котором возрастает любая величина.

В качестве примера можно использовать, допустим, высоту над уровнем моря в разных точках Земли.

Ее (высоты) градиент в каждой отдельной точке на карте будет показывать вектор увеличения значения до достижения самого крутого подъема.

В математике этот термин появился только в конце девятнадцатого века. Его ввел Максвелл и предложил свои обозначения этой величины. Физики используют данное понятие для того, чтобы описывать напряженность электрического или гравитационного поля, изменение потенциальной энергии.

Не только физика, но и другие науки используют термин «градиент». Это понятие может отражать как качественную, так и количественную характеристику вещества, например, концентрацию или температуру.

Градиент концентрации

Что такое градиент теперь известно, а что такое концентрация? Это относительная величина, которая показывает долю вещества, содержащегося в растворе.

Она может высчитываться в виде процента от массы, количества молей или атомов в газе (растворе), доли от целого. Такой широкий выбор дает возможность выразить практически любое соотношение.

И не только в физике или биологии, но и в метафизических науках.

А в общем, градиент концентрации является векторной величиной, которая одновременно дает характеристику количеству и направлению изменения вещества в среде.

Определение

Можно ли подсчитать градиент концентрации? Формула его представляет собой частность между элементарным изменением концентрации вещества и длинной пути, который придется преодолеть веществу для достижения равновесия между двумя растворами. Математически это выражается формулой С = dC/dl.

Наличие градиента концентрации между двумя веществами является причиной их смешивания. Если частицы движутся из области с большей концентрацией в меньшую, то это называется диффузией, а если между ними находится полупроницаемое препятствие – осмосом.

Активный транспорт

Активный и пассивный транспорт отражает движение веществ через мембраны или слои клеток живых существ: простейших, растений, животных и человека.

Этот процесс проходит с использованием тепловой энергии, так как переход веществ осуществляется против градиента концентрации: от меньшего к большему.

Наиболее часто для осуществления такого взаимодействия используется аденозинтрифосфат или АТФ – молекула, которая является универсальным источником энергии в 38 Джоулей.

Существуют разные формы АТФ, которые располагаются на мембранах клеток. Энергия, заключенная в них, высвобождается при переносе молекул веществ через так называемые насосы.

Это поры в клеточной стенке, которые выборочно поглощают и откачивают ионы электролитов. Кроме того, существует такая модель транспорта как симпорт.

В этом случае одновременно транспортируется два вещества: одно выходит из клетки, а другое в нее попадает. Это позволяет сэкономить энергию.

Везикулярный транспорт

Активный и пассивный транспорт включает в себя транспортировку веществ в виде пузырьков или везикул, поэтому процесс называется, соответственно, везикулярным транспортом. Выделяют два его вида:

  1. Эндоцитоз. В этом случае пузырьки образуются из мембраны клеток в процессе поглощения ею твердых или жидких веществ. Везикулы могут быть гладкими или иметь каемку. Такой способ питания имеют яйцеклетки, белые клетки крови, а также эпителий почек.
  2. Экзоцитоз. Исходя из названия, это процесс противоположный предыдущему. Внутри клетки есть органеллы (например, аппарат Гольджи), которые «упаковывают» вещества в пузырьки, а они, в последующем, выходят через мембрану.

Пассивный транспорт: диффузия

Движение по градиенту концентрации (от высокой к низкой) происходит без использования энергии. Выделяют два варианта пассивного транспорта – это осмос и диффузия. Последняя бывает простой и облегченной.

Основное отличие осмоса в том, что процесс перемещения молекул происходит через полупроницаемую мембрану. А диффузия по градиенту концентрации происходит в клетках, имеющих мембрану с двумя слоями липидных молекул.

Направление транспорта зависит только от количества вещества с обеих сторон мембраны. Этим способом в клетки проникают гидрофобные вещества, полярные молекулы, мочевина, и не могут проникнуть белки, сахара, ионы и ДНК.

[attention type=yellow] [/attention]

В процессе диффузии, молекулы стремятся заполнить весь доступный объем, а так же выровнять концентрацию по обе стороны мембраны. Бывает так, что мембрана непроницаема или плохо проницаема для вещества. В этом случае на нее воздействуют осмотические силы, которые могут как сделать преграду плотнее, так и растянуть ее, увеличив размеры насосных каналов.

Облегченная диффузия

Когда градиент концентрации не является достаточным основанием для транспорта вещества, на помощь приходят специфические белки. Они располагаются на мембране клеток точно так же, как и молекулы АТФ. Благодаря ним, может осуществляться как активный, так и пассивный транспорт.

https://www.youtube.com/watch?v=Efgp67YWJkA\u0026list=PLxGo9dxQkqWDTi3s2YGJIeWSYerUhDuCg

Таким способом через мембрану проходят крупные молекулы (белки, ДНК), полярные вещества, к которым относятся аминокислоты и сахара, ионы. Благодаря участию белков скорость транспорта увеличивается в несколько раз, по сравнению с обычной диффузией. Но это ускорение зависит от некоторых причин:

  • градиента вещества внутри и вне клетки;
  • количества молекул-переносчиков;
  • скорости связывания вещества и переносчика;
  • скорости изменения внутренней поверхности мембраны клетки.

Несмотря на это, транспорт осуществляется благодаря работе белков-переносчиков, а энергия АТФ в данном случае не используется.

Основными чертами, которые характеризуют облегченную диффузию, являются:

  1. Быстрый перенос веществ.
  2. Избирательность транспорта.
  3. Насыщаемость (когда все белки заняты).
  4. Конкуренция между веществами (из-за сродства с белком).
  5. Чувствительность к специфическим химическим агентам – ингибиторам.

Осмос

Как уже упоминалось выше, осмос – это движение веществ по градиенту концентрации через полупроницаемую мембрану. Наиболее полно процесс осмоса описывает принцип Лешателье-Брауна.

В нем говорится, что если на систему, находящуюся в равновесии, повлиять извне, то она будет стремиться вернуться в прежнее состояние. Первый раз с явлением осмоса столкнулись в середине XVIII столетия, но тогда ему не придали особого значения.

Исследования феномена начались только сто лет спустя.

Самым важным элементом в феномене осмоса является полупроницаемая мембрана, которая пропускает через себя только молекулы определенного диаметра или свойств. Например, в двух растворах с разной концентрацией, через преграду будет проходить только растворитель. Это будет продолжаться до тех пор, пока концентрация с обеих сторон мембраны не станет одинаковой.

[attention type=red]

Осмос играет значительную роль в жизни клеток. Это явление позволяет проникать в них только тем веществам, которые необходимы для поддержания жизни. Красная клетка крови имеет мембрану, пропускающую только воду, кислород и питательные вещества, но белки, которые, образуются внутри эритроцита, не могут попасть наружу.

[/attention]

Явление осмоса нашло и практическое применение в быту. Даже не подозревая об этом, люди в процессе засаливания пищи использовали именно принцип движения молекул по градиенту концентрации. Насыщенный солевой раствор «вытягивал» на себя всю воду из продуктов, тем самым позволяя им дольше храниться.

Источник: .ru

Источник: https://monateka.com/article/178187/

Градиент концентрации

Что такое градиент теперь известно, а что такое концентрация? Это относительная величина, которая показывает долю вещества, содержащегося в растворе.

Она может высчитываться в виде процента от массы, количества молей или атомов в газе (растворе), доли от целого. Такой широкий выбор дает возможность выразить практически любое соотношение.

И не только в физике или биологии, но и в метафизических науках.

А в общем, градиент концентрации является векторной величиной, которая одновременно дает характеристику количеству и направлению изменения вещества в среде.

Определение

Можно ли подсчитать градиент концентрации? Формула его представляет собой частность между элементарным изменением концентрации вещества и длинной пути, который придется преодолеть веществу для достижения равновесия между двумя растворами. Математически это выражается формулой С = dC/dl.

Наличие градиента концентрации между двумя веществами является причиной их смешивания. Если частицы движутся из области с большей концентрацией в меньшую, то это называется диффузией, а если между ними находится полупроницаемое препятствие – осмосом.

Везикулярный транспорт

Активный и пассивный транспорт включает в себя транспортировку веществ в виде пузырьков или везикул, поэтому процесс называется, соответственно, везикулярным транспортом. Выделяют два его вида:

  1. Эндоцитоз. В этом случае пузырьки образуются из мембраны клеток в процессе поглощения ею твердых или жидких веществ. Везикулы могут быть гладкими или иметь каемку. Такой способ питания имеют яйцеклетки, белые клетки крови, а также эпителий почек.
  2. Экзоцитоз. Исходя из названия, это процесс противоположный предыдущему. Внутри клетки есть органеллы (например, аппарат Гольджи), которые «упаковывают» вещества в пузырьки, а они, в последующем, выходят через мембрану.

Облегченная диффузия

Когда градиент концентрации не является достаточным основанием для транспорта вещества, на помощь приходят специфические белки. Они располагаются на мембране клеток точно так же, как и молекулы АТФ. Благодаря ним, может осуществляться как активный, так и пассивный транспорт.

https://www.youtube.com/watch?v=Efgp67YWJkA\u0026list=PLxGo9dxQkqWDTi3s2YGJIeWSYerUhDuCg

Таким способом через мембрану проходят крупные молекулы (белки, ДНК), полярные вещества, к которым относятся аминокислоты и сахара, ионы. Благодаря участию белков скорость транспорта увеличивается в несколько раз, по сравнению с обычной диффузией. Но это ускорение зависит от некоторых причин:

  • градиента вещества внутри и вне клетки;
  • количества молекул-переносчиков;
  • скорости связывания вещества и переносчика;
  • скорости изменения внутренней поверхности мембраны клетки.

Несмотря на это, транспорт осуществляется благодаря работе белков-переносчиков, а энергия АТФ в данном случае не используется.

Основными чертами, которые характеризуют облегченную диффузию, являются:

  1. Быстрый перенос веществ.
  2. Избирательность транспорта.
  3. Насыщаемость (когда все белки заняты).
  4. Конкуренция между веществами (из-за сродства с белком).
  5. Чувствительность к специфическим химическим агентам – ингибиторам.

Осмос

Как уже упоминалось выше, осмос – это движение веществ по градиенту концентрации через полупроницаемую мембрану. Наиболее полно процесс осмоса описывает принцип Лешателье-Брауна.

В нем говорится, что если на систему, находящуюся в равновесии, повлиять извне, то она будет стремиться вернуться в прежнее состояние. Первый раз с явлением осмоса столкнулись в середине XVIII столетия, но тогда ему не придали особого значения.

Исследования феномена начались только сто лет спустя.

Самым важным элементом в феномене осмоса является полупроницаемая мембрана, которая пропускает через себя только молекулы определенного диаметра или свойств. Например, в двух растворах с разной концентрацией, через преграду будет проходить только растворитель. Это будет продолжаться до тех пор, пока концентрация с обеих сторон мембраны не станет одинаковой.

[attention type=red]

Осмос играет значительную роль в жизни клеток. Это явление позволяет проникать в них только тем веществам, которые необходимы для поддержания жизни. Красная клетка крови имеет мембрану, пропускающую только воду, кислород и питательные вещества, но белки, которые, образуются внутри эритроцита, не могут попасть наружу.

[/attention]

Явление осмоса нашло и практическое применение в быту. Даже не подозревая об этом, люди в процессе засаливания пищи использовали именно принцип движения молекул по градиенту концентрации. Насыщенный солевой раствор «вытягивал» на себя всю воду из продуктов, тем самым позволяя им дольше храниться.

Источник: https://FB.ru/article/301596/gradient-kontsentratsii-ponyatie-formula-transport-veschestv-v-biologicheskih-membranah

Будь здоров
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: